Упр.396 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Площадь осевого сечения цилиндра равна $$S$$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно к этому радиусу.

Пусть радиус основания цилиндра равен $$r$$, а образующая равна $$l$$. Тогда осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$l$$, поэтому

$$S=2r\cdot l.$$

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через середину радиуса основания и перпендикулярно этому радиусу. Это сечение — прямоугольник, одна сторона которого равна образующей $$l$$, а другая — хорда основания, перпендикулярная данному радиусу и проходящая через его середину.

Обозначим середину радиуса через $$P$$. Тогда расстояние от центра основания до прямой сечения равно $$\frac r2$$. Если $$MN$$ — искомая хорда, то в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$r$$ и катетом $$\frac r2$$ получаем

$$MN=2\sqrt{r^2-\left(\frac r2\right)^2} =2\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}} =2\sqrt{\frac{3r^2}{4}} =r\sqrt3.$$

Следовательно, площадь искомого сечения равна

$$S_1=MN\cdot l=r\sqrt3\cdot l.$$

Из формулы $$S=2r\cdot l$$ находим

$$rl=\frac S2.$$

Тогда

$$S_1=\sqrt3\cdot rl=\frac{S\sqrt3}{2}.$$

Ответ: $$\frac{S\sqrt3}{2}$$.