Упр.394 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны T1 и г2. Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку.

Подробный ответ

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через центры данных сечений и точку их единственного пересечения. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, у которого катеты равны $$r_1$$ и $$r_2$$, а гипотенуза равна диаметру сферы $$2R$$.

Так как плоскости сечений взаимно перпендикулярны, то угол между радиусами, проведёнными к точке пересечения сечений, равен $$90^\circ$$. Следовательно, по теореме Пифагора:

$$ (2R)^2=(2r_1)^2+(2r_2)^2 $$

$$ 4R^2=4r_1^2+4r_2^2 $$

$$ R^2=r_1^2+r_2^2 $$

Площадь сферы равна

$$ S=4\pi R^2 $$

Подставим найденное значение $$R^2$$:

$$ S=4\pi(r_1^2+r_2^2) $$