Упр.393 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Радиусы двух параллельных сечений сферы равны $$9\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$. Расстояние между секущими плоскостями равно $$3\text{ см}$$. Найдите площадь сферы.

Подробный ответ

Пусть $$R$$ — радиус сферы. Проведём через центр сферы плоскость, перпендикулярную данным параллельным сечениям. Она пересечёт их по отрезкам, радиусы которых равны радиусам сечений сферы: $$9$$ см и $$12$$ см.

Обозначим расстояния от центра сферы до плоскостей сечений через $$x$$ и $$x+3$$. Тогда по теореме Пифагора для соответствующих радиусов сечений получаем:

$$R^2-x^2=9^2=81,$$

$$R^2-(x+3)^2=12^2=144.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$x^2-(x+3)^2=81-144=-63,$$

$$x^2-x^2-6x-9=-63,$$

$$6x=54,$$

$$x=9.$$

Тогда

$$R^2=81+x^2=81+81=162.$$

Площадь сферы равна

$$S=4\pi R^2=4\pi\cdot 162=648\pi\ \text{см}^2.$$