Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.39 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основания трапеции равны а и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2:3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции.

Обозначим длину искомого отрезка через $$x$$. Пусть высота трапеции равна $$h$$, а расстояние от нижнего основания до проведённой прямой — $$y$$.

Тогда верхняя трапеция подобна исходной, и коэффициент подобия равен

$$k=\frac{x}{b}=\frac{h-y}{h}.$$

Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия, значит площадь верхней трапеции равна $$k^2S$$, где $$S$$ — площадь всей трапеции. Тогда площадь нижней трапеции равна $$S-k^2S=(1-k^2)S$$.

По условию площади двух трапеций относятся как $$2:3$$, то есть

$$\frac{k^2}{1-k^2}=\frac{2}{3}.$$

Отсюда

$$3k^2=2-2k^2,$$

$$5k^2=2,$$

$$k^2=\frac{2}{5}, \qquad k=\sqrt{\frac{2}{5}}.$$

Следовательно, искомая длина отрезка равна

$$x=b\sqrt{\frac{2}{5}}.$$

Так как в трапеции отрезок, параллельный основаниям, изменяется линейно по высоте, то для трапеции с основаниями $$a$$ и $$b$$ получаем

$$x^2=\frac{2a^2+3b^2}{5}$$

или, в зависимости от того, какая из трапеций соответствует отношению $$2:3$$,

$$x^2=\frac{3a^2+2b^2}{5}.$$

Значит,

$$x=\sqrt{\frac{2a^2+3b^2}{5}} \quad \text{или} \quad x=\sqrt{\frac{3a^2+2b^2}{5}}.$$

Ответ

$$\sqrt{\frac{2a^2+3b^2}{5}}$$ или $$\sqrt{\frac{3a^2+2b^2}{5}}$$.