Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.39 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как $$2:3$$. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции.

Обозначим через $$x$$ длину отрезка прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённого внутри трапеции.

Пусть основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$, а сама прямая делит трапецию на две трапеции с площадями в отношении $$2:3$$. Тогда площадь меньшей трапеции составляет $$\frac{2}{5}$$ всей площади, а большей — $$\frac{3}{5}$$.

Рассмотрим треугольники, образованные продолжениями боковых сторон трапеции. Из подобия соответствующих треугольников следует, что длины параллельных сечений относятся как соответствующие основания, а площади — как квадраты этих отношений.

Если длина искомого сечения равна $$x$$, то для верхней и нижней частей трапеции получаем:

$$\frac{S_{\text{верх}}}{S_{\text{вся трапеция}}} = \frac{x^2-b^2}{a^2-b^2}, \qquad \frac{S_{\text{низ}}}{S_{\text{вся трапеция}}} = \frac{a^2-x^2}{a^2-b^2}.$$

Так как одна из частей составляет $$\frac{2}{5}$$ всей площади, а другая $$\frac{3}{5}$$, то для искомого сечения имеем:

$$\frac{x^2-b^2}{a^2-b^2}=\frac{2}{5}$$
или
$$\frac{a^2-x^2}{a^2-b^2}=\frac{2}{5}.$$

Отсюда:

$$5x^2-5b^2=2a^2-2b^2$$
$$5x^2=2a^2+3b^2,$$

значит

$$x=\sqrt{\frac{2a^2+3b^2}{5}}.$$

Если же меньшая часть соответствует другой трапеции, то аналогично получаем вторую возможную формулу:

$$x=\sqrt{\frac{3a^2+2b^2}{5}}.$$

Ответ: $$\sqrt{\frac{2a^2+3b^2}{5}}$$ или $$\sqrt{\frac{3a^2+2b^2}{5}}$$.