Упр.387 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Радиус сферы равен $$112\ \text{см}$$. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на $$15\ \text{см}$$. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$P$$ — данная точка на касательной плоскости, $$A$$ — точка касания. Тогда $$OA \perp \alpha$$, где $$\alpha$$ — касательная плоскость, и $$OA=R=112$$ см, $$AP=15$$ см.

Рассмотрим любую точку $$N$$ сферы. Тогда в треугольнике $$ONP$$ имеем

$$ON+NP>OP.$$

Так как $$ON=R$$, то

$$R+NP>OP,$$

откуда

$$NP>OP-R.$$

Значит, ближайшая к точке $$P$$ точка сферы лежит на отрезке $$OP$$, и расстояние до неё равно $$OP-R$$.

Найдём $$OP$$. В прямоугольном треугольнике $$OAP$$:

$$OP=\sqrt{OA^2+AP^2}=\sqrt{112^2+15^2}=\sqrt{12544+225}=\sqrt{12769}=113.$$

Тогда искомое расстояние:

$$OP-R=113-112=1\text{ см}.$$

Ответ: $$1\text{ см}$$.