Упр.386 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Сфера касается граней двугранного угла в $$120^\circ$$. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно $$a$$.
Проведём плоскость через центр сферы $$O$$ и перпендикулярно ребру двугранного угла. Она пересечёт грани двугранного угла по прямым $$m$$ и $$n$$, а сферу — по окружности с центром в $$O$$.
Пусть $$A$$ и $$B$$ — точки касания сферы с гранями двугранного угла, а $$C$$ — точка пересечения прямых $$m$$ и $$n$$. Тогда $$OC$$ — расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла, значит $$OC=a$$.
Так как сфера касается обеих граней, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны этим граням. Следовательно, $$OA\perp n$$ и $$OB\perp m$$. Кроме того, в сечении угол между прямыми $$m$$ и $$n$$ равен двугранному углу, то есть $$\angle ACB=120^\circ$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OCA$$. В нём $$\angle OAC=90^\circ$$, а $$\angle OCA=60^\circ$$, поэтому
$$\sin 60^\circ=\frac{OA}{OC}$$
$$OA=OC\sin 60^\circ=a\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
Это и есть радиус сферы: $$R=\dfrac{a\sqrt3}{2}$$.
Теперь найдём расстояние между точками касания $$A$$ и $$B$$. Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, так как $$OA=OB=R$$. Угол между радиусами равен
$$\angle AOB=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$
Значит, треугольник $$AOB$$ равносторонний, и потому
$$AB=OA=R=\frac{a\sqrt3}{2}.$$
Ответ: $$R=\dfrac{a\sqrt3}{2},\quad AB=\dfrac{a\sqrt3}{2}.$$
