Упр.385 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом ф к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.

Подробный ответ

Пусть $$C$$ — точка касания плоскости $$\alpha$$ со сферой, а плоскость $$\beta$$ пересекает сферу по окружности, сечение которой — круг радиуса $$r$$. Обозначим центр сферы через $$O$$, а центр окружности сечения через $$O_1$$.

Проведём радиус $$OC$$. Так как плоскость $$\alpha$$ касается сферы в точке $$C$$, то $$OC \perp \alpha$$. Плоскость $$\beta$$ образует с плоскостью $$\alpha$$ угол $$\varphi$$, значит угол между прямой $$OC$$ и плоскостью $$\beta$$ равен $$90^\circ-\varphi$$.

В сечении плоскостью, проходящей через $$O$$, $$C$$ и $$B$$, получаем прямоугольный треугольник $$O O_1 B$$, где $$OB=R$$, а $$O_1B=r$$. Тогда

$$r=OB\cdot \sin\varphi=R\sin\varphi.$$

Следовательно, площадь сечения равна площади круга радиуса $$r$$:

$$S=\pi r^2=\pi (R\sin\varphi)^2=\pi R^2\sin^2\varphi.$$