Упр.385 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через точку сферы радиуса $$R$$, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом $$\varphi$$ к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.

Пусть $$\alpha$$ — касательная плоскость к сфере в точке $$C$$, а $$\beta$$ — секущая плоскость, образующая с $$\alpha$$ угол $$\varphi$$. Плоскость $$\beta$$ пересекает сферу по окружности, центр которой обозначим через $$O_1$$.

Проведём радиус $$OC$$ к точке касания и радиус $$OB$$ к любой точке $$B$$ окружности сечения. Тогда $$OC \perp \alpha$$, а значит, в плоскости, перпендикулярной линии пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$, угол между $$OC$$ и $$O_1C$$ равен $$\varphi$$. Из прямоугольного треугольника $$OO_1C$$ получаем

$$O_1C=OC\sin\varphi=R\sin\varphi.$$

Но $$O_1C$$ — это радиус окружности сечения, значит

$$r=R\sin\varphi.$$

Тогда площадь сечения равна

$$S=\pi r^2=\pi(R\sin\varphi)^2=\pi R^2\sin^2\varphi.$$

Ответ: $$\pi R^2\sin^2\varphi$$.