Упр.384 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса $$R$$ так, что угол между диаметром и плоскостью равен $$\alpha$$. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: а) $$R=2\text{ см}$$, $$\alpha=30^\circ$$; б) $$R=5\text{ м}$$, $$\alpha=45^\circ$$.

Проведём $$OO_1 \perp$$ секущей плоскости, где $$O_1$$ — центр окружности сечения. Тогда точка $$O_1$$ лежит на диаметре, а $$O_1B$$ — радиус окружности сечения.

В прямоугольном треугольнике $$BOO_1$$ угол между диаметром $$BO$$ и плоскостью равен углу $$\angle OBO_1=\alpha$$, поэтому

$$O_1B=R\cos\alpha.$$

Следовательно, длина окружности сечения равна

$$L=2\pi O_1B=2\pi R\cos\alpha.$$

а) При $$R=2\text{ см}$$ и $$\alpha=30^\circ$$ получаем

$$L=2\pi\cdot 2\cdot \cos 30^\circ=4\pi\cdot \frac{\sqrt3}{2}=2\pi\sqrt3\text{ см}.$$

б) При $$R=5\text{ м}$$ и $$\alpha=45^\circ$$ получаем

$$L=2\pi\cdot 5\cdot \cos 45^\circ=10\pi\cdot \frac{\sqrt2}{2}=5\pi\sqrt2\text{ м}.$$

Ответ: а) $$2\pi\sqrt3\text{ см}$$; б) $$5\pi\sqrt2\text{ м}$$.