Упр.384 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен а. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: а) R = 2 см, а = 30°; б) R = 5 м, а = 45°.

Подробный ответ

Пусть секущая плоскость пересекает сферу по окружности с центром $O_1$. Проведём радиус $OO_1$, перпендикулярный секущей плоскости, и рассмотрим диаметр $CB$, лежащий в плоскости, проходящей через центр сферы и точки $C$ и $B$.

Тогда треугольник $CO_1B$ прямоугольный, так как $$OO_1 \perp \text{плоскости сечения},$$ значит $$OO_1 \perp O_1B.$$

Кроме того, $OO_1$ является медианой к хорде $CB$, поэтому $$O_1B=r,$$ где $r$ — радиус окружности сечения.

Угол между диаметром и плоскостью равен углу между диаметром и его проекцией на плоскость, то есть $$\angle OBO_1=\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $OO_1B$ получаем:

$$r=O_1B=R\cos\alpha.$$

Тогда длина окружности сечения равна

$$L=2\pi r=2\pi R\cos\alpha.$$

а) При $$R=2\text{ см},\ \alpha=30^\circ$$ имеем

$$r=2\cos 30^\circ=2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\text{ см},$$
$$L=2\pi\sqrt3\text{ см}.$$

б) При $$R=5\text{ м},\ \alpha=45^\circ$$ имеем

$$r=5\cos 45^\circ=5\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{5\sqrt2}{2}\text{ м},$$
$$L=2\pi\cdot \frac{5\sqrt2}{2}=5\pi\sqrt2\text{ м}.$$