Упр.383 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен R. Найдите: а) радиус получившегося сечения; б) площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$O_1$$ — точка, через которую проведена секущая плоскость. По условию $$OO_1=\frac{R}{2}$$, а плоскость перпендикулярна радиусу $$OO_1$$.

Радиус получившегося сечения обозначим через $$r$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$, где $$A$$ — любая точка окружности сечения, имеем:

$$OA=R,\quad OO_1=\frac{R}{2},\quad O_1A=r.$$

По теореме Пифагора:

$$ r=\sqrt{OA^2-OO_1^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}} =\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\frac{R\sqrt{3}}{2}. $$

Теперь найдём площадь боковой поверхности конуса, вершина которого находится в центре сферы $$O$$, а основание — это полученное сечение. У такого конуса образующая равна радиусу сферы:

$$l=OA=R.$$

Тогда площадь боковой поверхности:

$$ S_{\text{бок}}=\pi rl =\pi \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}\cdot R =\frac{\pi R^2\sqrt{3}}{2}. $$