Упр.383 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен $$R$$. Найдите: а) радиус получившегося сечения; б) площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение.

Пусть $$O$$ — центр сферы, $$O_1$$ — точка, через которую проведена секущая плоскость, а $$A$$ и $$B$$ — точки окружности сечения. Тогда $$OO_1=\frac{R}{2}$$, а радиус сечения обозначим через $$r$$.

Так как секущая плоскость перпендикулярна радиусу $$OO_1$$, то $$OO_1$$ перпендикулярен плоскости сечения, значит, $$O_1A$$ лежит в этой плоскости и $$OO_1\perp O_1A$$. В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем:

$$OA=R,\qquad OO_1=\frac{R}{2}.$$

Тогда

$$r=O_1A=\sqrt{OA^2-OO_1^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\frac{R\sqrt{3}}{2}.$$

Теперь найдём площадь боковой поверхности конуса, вершина которого находится в центре сферы $$O$$, а основание — полученное сечение. Образующая этого конуса равна радиусу сферы:

$$l=OA=R.$$

Площадь боковой поверхности конуса:

$$S_{\text{бок}}=\pi rl =\pi\cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}\cdot R =\frac{\pi R^2\sqrt{3}}{2}.$$

Ответ: а) $$\frac{R\sqrt{3}}{2}$$; б) $$\frac{\pi R^2\sqrt{3}}{2}$$.