Упр.381 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезок $$OH$$ — высота тетраэдра $$OABC$$. Выясните взаимное расположение сферы радиуса $$R$$ с центром $$O$$ и плоскости $$ABC$$, если:
   а) $$R=6\ \text{дм}$$, $$OH=60\ \text{см}$$;
   б) $$R=3\ \text{м}$$, $$OH=95\ \text{см}$$;
   в) $$R=5\ \text{дм}$$, $$OH=45\ \text{см}$$;
   г) $$R=3{,}5\ \text{дм}$$, $$OH=40\ \text{см}$$.

Пусть $$d=OH$$ — расстояние от центра сферы до плоскости $$ABC$$. Так как $$OH$$ — высота тетраэдра, то $$OH\perp ABC$$, значит действительно $$d=OH$$.

Для сферы радиуса $$R$$ и плоскости на расстоянии $$d$$ возможны три случая:

• если $$R=d$$, то плоскость касается сферы;
• если $$R>d$$, то плоскость пересекает сферу по окружности;
• если $$R<d$$, то плоскость и сфера не имеют общих точек.

Переведём все величины в одни единицы измерения.

1. $$R=6\text{ дм},\quad d=OH=60\text{ см}=6\text{ дм}.$$

   Следовательно, $$R=d$$, значит, сфера и плоскость $$ABC$$ касаются.

2. $$R=3\text{ м},\quad d=OH=95\text{ см}=0{,}95\text{ м}.$$

   Здесь $$R>d$$, значит, плоскость $$ABC$$ пересекает сферу по окружности.

3. $$R=5\text{ дм},\quad d=OH=45\text{ см}=4{,}5\text{ дм}.$$

   Здесь $$R>d$$, значит, плоскость $$ABC$$ пересекает сферу по окружности.

4. $$R=3{,}5\text{ дм},\quad d=OH=40\text{ см}=4\text{ дм}.$$

   Здесь $$R<d$$, значит, сфера и плоскость $$ABC$$ не имеют общих точек.

Ответ: а) касаются; б) пересекаются по окружности; в) пересекаются по окружности; г) не имеют общих точек.