Упр.380 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Все стороны ромба, диагонали которого равны $$15\ \text{см}$$ и $$20\ \text{см}$$, касаются сферы радиуса $$10\ \text{см}$$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Пусть $$O$$ — центр сферы, а $$O_1$$ — проекция точки $$O$$ на плоскость ромба. Тогда $$OO_1 \perp (ABCD)$$, и расстояние от центра сферы до плоскости ромба равно $$OO_1$$.

Так как все стороны ромба касаются сферы, то расстояния от точки $$O_1$$ до всех сторон ромба равны. Значит, $$O_1$$ — центр вписанной окружности ромба, а её радиус обозначим через $$r$$.

Найдём $$r$$. Площадь ромба выражается через диагонали:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 15 \cdot 20=150.$$

С другой стороны, для ромба

$$S_{ABCD}=r\cdot p,$$

где $$p$$ — полупериметр. Найдём сторону ромба:

$$a=\frac{1}{2}\sqrt{15^2+20^2}=\frac{1}{2}\sqrt{625}=12{,}5.$$

Тогда

$$p=2a=25,$$

и потому

$$r=\frac{S_{ABCD}}{p}=\frac{150}{25}=6.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OO_1L$$, где $$L$$ — точка касания сферы со стороной ромба. Имеем $$OL=10$$ как радиус сферы, а $$O_1L=r=6$$. Тогда

$$OO_1=\sqrt{OL^2-O_1L^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

Ответ: $$8\text{ см}$$.