Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.38 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В треугольнике АВС медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Площадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника АВС.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$AD$$ — медиана, то $$D$$ — середина стороны $$BC$$, а значит $$BD=\dfrac{BC}{2}$$. Поскольку $$BE$$ — биссектриса, то в треугольнике $$ABC$$ по теореме о биссектрисе

$$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}.$$

Из условия и рисунка следует, что $$AB=BD=\dfrac{BC}{2}$$, поэтому

$$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}, \qquad EC=2AE.$$

Точка $$F$$ — точка пересечения $$AD$$ и $$BE$$, причём $$AD \perp BE$$. Тогда $$\angle EFD=90^\circ$$ и $$\angle AFE=90^\circ$$. Кроме того, $$AF=DF$$, так как в треугольнике $$ABD$$ прямая $$AD$$ является медианой к стороне $$BC$$, а точка $$F$$ лежит на перпендикуляре к $$AD$$ через точку пересечения с биссектрисой.

Следовательно, треугольники $$AFE$$ и $$DFE$$ равны по двум катетам: $$AF=DF$$ и $$\angle AFE=\angle EFD=90^\circ$$. Значит,

$$S_{AFE}=S_{DFE}=5.$$

Тогда

$$S_{AED}=S_{AFE}+S_{DFE}=5+5=10.$$

Так как $$EC=2AE$$, то треугольники $$AED$$ и $$CED$$ имеют общую высоту из точки $$D$$ к прямой $$AC$$, а их основания относятся как $$AE:EC=1:2$$. Поэтому

$$S_{CED}=2S_{AED}=2\cdot 10=20.$$

Тогда

$$S_{ADC}=S_{AED}+S_{CED}=10+20=30.$$

Поскольку $$D$$ — середина стороны $$BC$$, треугольники $$ADC$$ и $$ABC$$ имеют одинаковую высоту из точки $$A$$ к прямой $$BC$$, а основания $$DC$$ и $$BC$$ относятся как $$1:2$$. Значит,

$$S_{ABC}=2S_{ADC}=2\cdot 30=60.$$

Ответ

$$60$$