Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.38 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ медиана $$AD$$ и биссектриса $$BE$$ перпендикулярны и пересекаются в точке $$F$$. Площадь треугольника $$DEF$$ равна $$5$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$BE$$ — биссектриса, а $$F \in BE$$, то $$BF$$ — биссектриса угла $$ABD$$. Кроме того, $$AD \perp BE$$, значит $$AD \perp BF$$. Следовательно, в треугольнике $$ABD$$ прямая $$BF$$ является одновременно биссектрисой и высотой, поэтому треугольник $$ABD$$ равнобедренный:

$$AB=BD.$$

Так как $$D$$ — середина стороны $$BC$$, то

$$BD=\frac{BC}{2}, \qquad AB=\frac{BC}{2}.$$

В треугольнике $$ABC$$ по теореме о биссектрисе:

$$\frac{EC}{AE}=\frac{BC}{AB}=2,$$

значит

$$EC=2AE.$$

Рассмотрим треугольники $$AFE$$ и $$DFE$$. У них

$$AF=DF,$$

а также

$$\angle AFE=\angle EFD=90^\circ.$$

Следовательно, треугольники $$AFE$$ и $$DFE$$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому

$$S_{AFE}=S_{DFE}=5.$$

Тогда

$$S_{AED}=S_{AFE}+S_{DFE}=5+5=10.$$

Так как $$EC=2AE$$, то треугольники $$AED$$ и $$CED$$ имеют общую высоту из точки $$D$$ к прямой $$AC$$, а их основания относятся как $$AE:EC=1:2$$. Значит,

$$S_{CED}=2S_{AED}=2\cdot 10=20.$$

Тогда

$$S_{ADC}=S_{AED}+S_{CED}=10+20=30.$$

Поскольку $$D$$ — середина $$BC$$, треугольники $$ADC$$ и $$ABD$$ имеют равные основания $$BD=DC$$ и общую высоту из $$A$$, значит их площади равны. Поэтому

$$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}=2S_{ADC}=2\cdot 30=60.$$

Ответ: $$60$$.