Упр.379 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса $$5\ \text{см}$$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если $$AB=13\ \text{см}$$, $$BC=14\ \text{см}$$, $$CA=15\ \text{см}$$.

Пусть $$O$$ — центр сферы, а $$O_1$$ — проекция точки $$O$$ на плоскость треугольника $$ABC$$. Тогда точка $$O_1$$ — центр окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, а её радиус равен расстоянию от $$O_1$$ до сторон треугольника.

Найдём радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$.

Полупериметр:

$$p=\frac{13+14+15}{2}=21.$$

По формуле Герона площадь треугольника:

$$S=\sqrt{p(p-13)(p-14)(p-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84.$$

Тогда радиус вписанной окружности

$$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4.$$

Так как радиус сферы равен $$5$$ см, то в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$R=5$$ и катетами $$r$$ и искомым расстоянием $$h$$ имеем:

$$h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3.$$

Следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $$3$$ см.

Ответ: $$3$$ см.