Упр.379 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Bce стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 13 см, BC = 14 см, CA = 15 см.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр сферы, а $$H$$ — проекция точки $$O$$ на плоскость треугольника $$ABC$$. Тогда расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $$OH$$.

Так как все стороны треугольника $$ABC$$ касаются сферы, то окружность с центром в точке $$H$$ является вписанной в треугольник $$ABC$$, а её радиус равен $$r$$. Для треугольника со сторонами $$13$$, $$14$$ и $$15$$ найдём полупериметр:

$$p=\frac{13+14+15}{2}=21.$$

По формуле Герона площадь треугольника:

$$ S=\sqrt{p(p-13)(p-14)(p-15)} =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} =\sqrt{7056}=84. $$

Тогда радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OOH$$. Так как радиус сферы равен $$5$$ см, то

$$ OH=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3. $$

Следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $$3$$ см.