Упр.378 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны треугольника касаются сферы радиуса $$5\text{ см}$$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны $$10\text{ см}$$, $$10\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$.

Пусть плоскость треугольника касается сферы в точках $$A,$$ $$B,$$ $$C.$$ Опустим из центра сферы $$O$$ перпендикуляр $$OO_1$$ на плоскость треугольника.

Так как стороны треугольника касаются сферы, то расстояния от точки $$O_1$$ до сторон треугольника равны между собой и равны радиусу вписанной окружности треугольника. Значит, $$O_1$$ — центр вписанной окружности треугольника.

Найдём радиус вписанной окружности треугольника со сторонами $$10$$ см, $$10$$ см и $$12$$ см.

Полупериметр:

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16.$$

Площадь по формуле Герона:

$$S=\sqrt{16\cdot(16-10)\cdot(16-10)\cdot(16-12)} =\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4} =48.$$

Тогда радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем:

$$OO_1=\sqrt{OA^2-O_1A^2}=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\text{ см}.$$

Ответ: $$4$$ см.