Упр.377 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

Подробный ответ

Плоскость прямоугольника пересекает сферу по окружности, описанной около прямоугольника. Центр сферы $$O$$ лежит на перпендикуляре к плоскости прямоугольника, проведённом через центр этой окружности $$K$$. Поэтому искомое расстояние равно $$OK$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OKA$$, где $$A$$ — вершина прямоугольника. Тогда

$$OA^2=OK^2+KA^2.$$

Так как $$OA=R=10$$ см, а $$KA$$ — радиус описанной окружности прямоугольника, то он равен половине диагонали:

$$KA=\frac{16}{2}=8\text{ см}.$$

Тогда

$$OK=\sqrt{OA^2-KA^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{ см}.$$