Упр.377 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса $$10\ \text{см}$$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна $$16\ \text{см}$$.

Плоскость прямоугольника пересекает сферу по окружности, которая является окружностью, описанной около прямоугольника. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Обозначим через $$K$$ центр прямоугольника, а через $$O$$ центр сферы. Тогда $$OK$$ перпендикулярно плоскости прямоугольника, значит $$OK$$ — искомое расстояние.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OKA$$, где $$A$$ — вершина прямоугольника. По теореме Пифагора:

$$OA^2=OK^2+KA^2$$

Так как $$OA=R=10$$ см, а $$KA$$ — половина диагонали прямоугольника, то

$$KA=\frac{16}{2}=8\text{ см}$$

Тогда

$$OK=\sqrt{OA^2-KA^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{ см}$$

Ответ: $$6$$ см.