Упр.376 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Вершины треугольника $$ABC$$ лежат на сфере радиуса $$13\text{ см}$$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если $$AB=6\text{ см}$$, $$BC=8\text{ см}$$, $$AC=10\text{ см}$$.

Плоскость треугольника $$ABC$$ пересекает сферу по окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Пусть $$K$$ — центр этой окружности, а $$O$$ — центр сферы. Тогда $$OK$$ перпендикулярно плоскости $$ABC$$, и в прямоугольном треугольнике $$OKA$$ имеем

$$OK=\sqrt{OA^2-KA^2}.$$

Найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$.

По формуле Герона:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{6+8+10}{2}=12,$$

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{12\cdot 6\cdot 4\cdot 2}=24.$$

Тогда радиус описанной окружности

$$KA=R_{\triangle ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}}=\frac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 24}=5.$$

Теперь находим расстояние от центра сферы до плоскости треугольника:

$$OK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12.$$

Ответ: $$12\text{ см}$$.