Упр.376 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Вершины треугольника ABC лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 10 см.

Плоскость треугольника $$ABC$$ пересекает сферу по окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Пусть $$O$$ — центр сферы, а $$K$$ — центр этой окружности. Тогда $$OK \perp (ABC)$$, и отрезок $$OK$$ равен искомому расстоянию от центра сферы до плоскости треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OAK$$, где $$OA=13$$ см — радиус сферы, а $$KA$$ — радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$. Тогда

$$OK=\sqrt{OA^2-KA^2}.$$

Найдём $$KA$$. Для треугольника со сторонами $$6$$, $$8$$ и $$10$$ см имеем

$$p=\frac{6+8+10}{2}=12.$$

По формуле Герона:

$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} \\ S_{ABC}=\sqrt{12\cdot 6\cdot 4\cdot 2}=\sqrt{576}=24. $$

Радиус описанной окружности:

$$ KA=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}}=\frac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 24}=\frac{480}{96}=5. $$

Теперь найдём расстояние:

$$ OK=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12. $$

Ответ

$$12\text{ см}$$