Упр.374 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точки $$A$$ и $$B$$ лежат на сфере радиуса $$R$$. Найдите расстояние от центра сферы до прямой $$AB$$, если $$AB = т$$.

Через точки $$A$$ и $$B$$ и центр сферы $$O$$ проведём плоскость. В сечении получим окружность радиуса $$R$$, а отрезок $$AB$$ будет её хордой.

Пусть $$M$$ — середина хорды $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$OAB$$ отрезок $$OM$$, проведённый к основанию $$AB$$, является высотой, значит, $$OM \perp AB$$. Следовательно, $$OM$$ — искомое расстояние от центра сферы до прямой $$AB$$.

Так как $$AB=m$$, то $$AM=MB=\dfrac{m}{2}$$. В прямоугольном треугольнике $$OAM$$ по теореме Пифагора:

$$OM=\sqrt{OA^2-AM^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2} =\sqrt{R^2-\frac{m^2}{4}} =\frac{\sqrt{4R^2-m^2}}{2}.$$

Ответ: $$\dfrac{\sqrt{4R^2-m^2}}{2}$$.