Упр.373 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка M — середина отрезка AB, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если R = 50 см, AB = = 40 см; б) ОМ, если R — 15 мм, AB = 18 мм; в) AB, если R = 10 дм, OM = 60 см; г) AM, если R = а, OM = b.

Подробный ответ

Проведём секущую плоскость через точки $$A$$, $$B$$ и центр сферы $$O$$. Тогда сечение сферы этой плоскостью — окружность радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$.

Так как $$M$$ — середина хорды $$AB$$, то прямая $$OM$$ перпендикулярна хорде $$AB$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$OAM$$:

$$AM=\frac{AB}{2}, \qquad OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{R^2-AM^2}.$$

а) $$AM=\frac{40}{2}=20$$ см, тогда

$$OM=\sqrt{50^2-20^2}=\sqrt{2500-400}=\sqrt{2100}=10\sqrt{21}\text{ см}.$$

б) $$AM=\frac{18}{2}=9$$ мм, тогда

$$OM=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\text{ мм}.$$

в) $$R=10$$ дм, $$OM=60$$ см $$=6$$ дм. Тогда

$$AM=\sqrt{R^2-OM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ дм}.$$

Следовательно,

$$AB=2AM=16\text{ дм}.$$

г) По теореме Пифагора в треугольнике $$OAM$$:

$$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{a^2-b^2}.$$