Упр.373 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, концы которого лежат на сфере радиуса $$R$$ с центром $$O$$. Найдите: а) $$OM$$, если $$R = 50\ \text{см}$$, $$AB = 40\ \text{см}$$; б) $$OM$$, если $$R = 15\ \text{мм}$$, $$AB = 18\ \text{мм}$$; в) $$AB$$, если $$R = 10\ \text{дм}$$, $$OM = 60\ \text{см}$$; г) $$AM$$, если $$R = a$$, $$OM = b$$.

Проведём секущую плоскость через точки $$A$$, $$B$$ и центр сферы $$O$$. Тогда сечение сферы этой плоскостью — окружность радиуса $$R$$ с центром в точке $$O$$, а отрезок $$AB$$ — хорда этой окружности. Так как $$M$$ — середина хорды $$AB$$, то прямая $$OM$$ перпендикулярна $$AB$$.

Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$OAM$$ имеем:

$$AM=\frac{AB}{2}, \qquad OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}.$$

1. $$R=50\text{ см},\ AB=40\text{ см}$$.

   $$AM=\frac{40}{2}=20\text{ см}$$

   $$OM=\sqrt{50^2-20^2}=\sqrt{2500-400}=\sqrt{2100}=10\sqrt{21}\text{ см}.$$

2. $$R=15\text{ мм},\ AB=18\text{ мм}$$.

   $$AM=\frac{18}{2}=9\text{ мм}$$

   $$OM=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12\text{ мм}.$$

3. $$R=10\text{ дм},\ OM=60\text{ см}=6\text{ дм}$$.

   $$AM=\sqrt{R^2-OM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ дм}.$$

   $$AB=2AM=16\text{ дм}.$$

4. $$R=a,\ OM=b$$.

   $$AM=\sqrt{a^2-b^2}, \qquad AB=2AM=2\sqrt{a^2-b^2}.$$

Ответ: а) $$10\sqrt{21}\text{ см}$$; б) $$12\text{ мм}$$; в) $$16\text{ дм}$$; г) $$2\sqrt{a^2-b^2}$$.