Упр.372 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки A и B лежат на сфере с центром 0 ?. AB, а точка M лежит на отрезке AB. Докажите, что: а) если M — середина отрезка AB, то OM A AB; б) если OM i. AB, то M — середина отрезка AB.
Пусть $$OA=OB$$, так как точки $$A$$ и $$B$$ лежат на сфере с центром $$O$$. Тогда треугольник $$AOB$$ равнобедренный с основанием $$AB$$.
а) Если $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$OM$$ — медиана треугольника $$AOB$$, проведённая к основанию равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой, значит, $$OM \perp AB$$.
б) Пусть теперь $$OM \perp AB$$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$OMA$$ и $$OMB$$. У них:
- $$OA=OB$$ — как радиусы сферы;
- $$OM$$ — общая сторона;
- $$\angle OMA=\angle OMB=90^\circ$$.
Следовательно, $$\triangle OMA \cong \triangle OMB$$ по гипотенузе и катету. Отсюда $$MA=MB$$. Значит, $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.
Ответ
а) $$OM \perp AB$$; б) $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.