Упр.370 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дана трапеция \(ABCD\), в которой \(\angle A=90^\circ\), \(\angle D=45^\circ\), \(BC=4\) см, \(CD=3\sqrt{2}\) см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усечённого конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны \(AB\).
Пусть при вращении трапеции вокруг стороны $$AB$$ образуется усечённый конус. Тогда $$AB$$ — высота усечённого конуса, $$BC$$ и $$AD$$ — радиусы его оснований, а $$CD$$ — образующая.
Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CM$$ на $$AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$DCM$$:
$$DM=CD\cos 45^\circ=3\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\text{ см}.$$
Так как $$ABCD$$ — трапеция и $$BC\parallel AD$$, то
$$AD=BC+DM=4+3=7\text{ см}.$$
Следовательно, радиусы оснований усечённого конуса равны $$r=4\text{ см}$$ и $$R=7\text{ см}$$, а образующая
$$l=CD=3\sqrt{2}\text{ см}.$$
Площадь боковой поверхности усечённого конуса:
$$S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l=\pi(7+4)\cdot 3\sqrt{2}=33\sqrt{2}\pi\ \text{см}^2.$$
Полная поверхность равна сумме боковой поверхности и площадей оснований:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+\pi R^2+\pi r^2.$$
$$S_{\text{полн}}=33\sqrt{2}\pi+\pi\cdot 7^2+\pi\cdot 4^2=33\sqrt{2}\pi+49\pi+16\pi=33\sqrt{2}\pi+65\pi\ \text{см}^2.$$
Ответ: $$S_{\text{бок}}=33\sqrt{2}\pi\ \text{см}^2,\quad S_{\text{полн}}=33\sqrt{2}\pi+65\pi\ \text{см}^2.$$
