Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.37 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Отрезки, соединяющие середины сторон выпуклого четырёхугольника, равны. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны 8 и 12.

Обозначим середины сторон четырёхугольника $$ABCD$$ через $$E, F, G, H$$ соответственно. Тогда в четырёхугольнике $$EFGH$$ отрезки $$EH$$ и $$FG$$ соединяют середины сторон треугольника $$ABD$$, а значит,

$$EH \parallel BD,\qquad EH=\frac{1}{2}BD,$$

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac{1}{2}BD.$$

Следовательно, $$EH \parallel FG$$ и $$EH=FG$$.

Аналогично, в треугольнике $$ABC$$ отрезки $$EF$$ и $$HG$$ являются средними линиями, поэтому

$$EF \parallel AC,\qquad EF=\frac{1}{2}AC,$$

$$HG \parallel AC,\qquad HG=\frac{1}{2}AC.$$

Значит, $$EF \parallel HG$$ и $$EF=HG$$. Следовательно, $$EFGH$$ — прямоугольник.

Площадь четырёхугольника $$ABCD$$ равна удвоенной площади прямоугольника $$EFGH$$, а его стороны равны половинам диагоналей $$ABCD$$:

$$S_{EFGH}=\frac{1}{2}AC\cdot \frac{1}{2}BD,$$

поэтому

$$S_{ABCD}=2S_{EFGH}=2\cdot \frac{1}{2}AC\cdot \frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC\cdot BD.$$

Подставим данные:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12=48.$$

Ответ

$$48$$