Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.37 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезки, соединяющие середины сторон выпуклого четырёхугольника, равны. Найдите площадь четырёхугольника, если его диагонали равны $$8$$ и $$12$$.
Обозначим середины сторон четырёхугольника $$ABCD$$ через $$E, F, G, H$$ так, что $$AE=BE$$, $$BF=CF$$, $$CG=DG$$, $$AH=DH$$.
Тогда в четырёхугольнике $$EFGH$$ отрезки $$EH$$ и $$FG$$ соединяют середины сторон треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$, поэтому
$$EH \parallel FG \parallel BD,\qquad EH=FG=\frac{1}{2}BD.$$
Аналогично, отрезки $$EF$$ и $$HG$$ соединяют середины сторон треугольников $$ABC$$ и $$ADC$$, значит
$$EF \parallel HG \parallel AC,\qquad EF=HG=\frac{1}{2}AC.$$
По условию все такие отрезки равны, следовательно, $$EF=EH$$. Значит, в четырёхугольнике $$EFGH$$ соседние стороны равны и попарно параллельны, то есть $$EFGH$$ — прямоугольник. Тогда его стороны равны $$\frac{1}{2}AC$$ и $$\frac{1}{2}BD$$.
Площадь четырёхугольника $$ABCD$$ равна площади параллелограмма, составленного из этих средних линий:
$$S_{ABCD}=2S_{EFGH}=2\cdot \frac{1}{2}AC\cdot \frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC\cdot BD.$$
Подставим данные:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12=48.$$
Ответ: $$48$$.
