Подготовка к ЕГЭ Задание 3 Упр.37 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона равностороннего треугольника $$ABC$$ равна $$\sqrt{3}$$. Найдите $$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$$.

В правильном треугольнике $$ABC$$ высота $$AD$$ является также медианой, поэтому $$D$$ — середина стороны $$BC$$ и $$AD \perp BC$$. Тогда

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD},$$

следовательно,

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2|AD|.$$

Найдём $$AD$$ из прямоугольного треугольника $$ABD$$:

$$BD=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}.$$

Тогда

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot \frac{3}{2}=3.$$

Ответ: $$3$$.