Упр.37 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая m пересекает сторону AB треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых m и ВС, если: а) прямая m лежит в плоскости ABC и не имеет общих точек с отрезком AC; б) прямая m не лежит в плоскости ABC?

Подробный ответ

а) Пусть $$m \subset (ABC)$$ и $$m \cap AC=\varnothing.$$

Предположим, что $$m \parallel BC.$$ Тогда прямые $$AC$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$C$$, а значит, если бы $$m \parallel BC$$, то из принадлежности $$AC$$ и $$BC$$ одной плоскости следовало бы, что $$m$$ не пересекает $$AC$$. Это не противоречит условию, поэтому нужно учесть, что прямая $$m$$ пересекает сторону $$AB$$ треугольника в точке $$D$$.

В плоскости $$ABC$$ через точку $$D$$ можно провести только одну прямую, параллельную $$BC$$. Так как $$m$$ не имеет общих точек с $$AC$$, то она не может пересекать $$BC$$ в точке, лежащей на продолжении $$AC$$, и потому $$m \parallel BC$$.

Следовательно, $$m$$ и $$BC$$ параллельны.

б) Пусть $$m \not\subset (ABC)$$ и $$m \cap (ABC)=D,$$ где $$D \in AB$$.

Прямая $$BC$$ лежит в плоскости $$ABC$$, а прямая $$m$$ пересекает эту плоскость в точке $$D$$, не лежащей на $$BC$$. Значит, прямые $$m$$ и $$BC$$ не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

По теореме о скрещивающихся прямых получаем, что $$m$$ и $$BC$$ — скрещивающиеся.