Упр.369 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см2. Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса.

Подробный ответ

Пусть $$l$$ — образующая исходного конуса, $$R$$ — радиус его основания. Тогда площадь боковой поверхности конуса равна

$$S_{\text{бок}}=\pi Rl=80.$$

Плоскость проходит через середину высоты и параллельна основанию, значит отсечённый сверху конус подобен исходному с коэффициентом подобия $$\frac{1}{2}$$. Поэтому его радиус и образующая в 2 раза меньше:

$$r=\frac{R}{2}, \qquad l_1=\frac{l}{2}.$$

Тогда площадь боковой поверхности малого конуса:

$$S_1=\pi r l_1=\pi \cdot \frac{R}{2}\cdot \frac{l}{2}=\frac{1}{4}\pi Rl=\frac{80}{4}=20.$$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна разности площадей боковых поверхностей исходного и малого конусов:

$$S_{\text{усеч}}=80-20=60.$$