Упр.363 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $$\varphi$$. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна $$a$$, а противолежащий угол равен $$\alpha$$. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Рассмотрим осевое сечение конуса. В этом сечении получаем равнобедренный треугольник, у которого образующая равна $$l$$, радиус основания равен $$r$$, а угол между образующей и плоскостью основания равен $$\varphi$$.

Пусть в основании конуса вписан треугольник, одна сторона которого равна $$a$$, а противолежащий угол равен $$\alpha$$. Тогда эта сторона является хордой окружности основания, а по теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность, имеем

$$\frac{a}{\sin \alpha}=2r,$$

откуда

$$r=\frac{a}{2\sin \alpha}.$$

Из прямоугольного треугольника, образованного образующей, высотой конуса и её проекцией на основание, получаем

$$\cos \varphi=\frac{r}{l},$$

значит

$$l=\frac{r}{\cos \varphi}=\frac{a}{2\sin \alpha \cos \varphi}.$$

Полная поверхность конуса равна сумме площади основания и боковой поверхности:

$$S_{\text{полн}}=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l).$$

Подставим найденные значения:

$$S_{\text{полн}}=\pi \cdot \frac{a}{2\sin \alpha}\left(\frac{a}{2\sin \alpha}+\frac{a}{2\sin \alpha \cos \varphi}\right).$$

Упростим:

$$S_{\text{полн}}=\frac{\pi a^2}{4\sin^2 \alpha}\left(1+\frac{1}{\cos \varphi}\right) =\frac{\pi a^2(1+\cos \varphi)}{4\sin^2 \alpha \cos \varphi}.$$

Ответ

$$S_{\text{полн}}=\frac{\pi a^2(1+\cos \varphi)}{4\sin^2 \alpha \cos \varphi}.$$