Упр.363 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ф. B основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а, а противолежащий угол равен а. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Подробный ответ

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$l$$ — его образующая. Тогда площадь полной поверхности конуса равна

$$S_{\text{полн}}=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l).$$

Рассмотрим треугольник, вписанный в основание конуса. Его сторона равна $$a$$, а противолежащий угол равен $$\alpha$$. По теореме синусов для этого треугольника:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=2r,$$

откуда

$$r=\frac{a}{2\sin\alpha}.$$

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом $$\varphi$$, значит в осевом сечении

$$\cos\varphi=\frac{r}{l},$$

следовательно,

$$l=\frac{r}{\cos\varphi}=\frac{a}{2\sin\alpha\cos\varphi}.$$

Подставим найденные значения в формулу площади полной поверхности:

$$ S_{\text{полн}}=\pi \cdot \frac{a}{2\sin\alpha}\left(\frac{a}{2\sin\alpha}+\frac{a}{2\sin\alpha\cos\varphi}\right). $$

Упростим:

$$ S_{\text{полн}}=\frac{\pi a^2}{4\sin^2\alpha}\left(1+\frac{1}{\cos\varphi}\right) =\frac{\pi a^2(1+\cos\varphi)}{4\sin^2\alpha\cos\varphi}. $$