Упр.359 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной: а) $$180^\circ$$; б) $$90^\circ$$; в) $$60^\circ$$.

Пусть $$\angle APO=x$$ — половина угла при вершине осевого сечения конуса. Тогда в осевом сечении получаем равнобедренный треугольник $$PAB$$, где $$PA=PB=l$$ — образующая конуса, а $$AB=2r$$ — диаметр основания.

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса $$l$$. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса:

$$\frac{2\pi l\cdot \alpha}{360^\circ}=2\pi r,$$

где $$\alpha$$ — угол сектора. Отсюда

$$r=\frac{\alpha l}{360^\circ}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOP$$ имеем

$$\sin x=\frac{AO}{AP}=\frac{r}{l}=\frac{\alpha}{360^\circ}.$$

Значит,

$$x=\arcsin\frac{\alpha}{360^\circ}, \qquad \angle APB=2x.$$

Теперь найдём угол при вершине осевого сечения для каждого случая:

1. Если $$\alpha=180^\circ$$, то

   $$\sin x=\frac{180^\circ}{360^\circ}=\frac12,$$

   откуда $$x=30^\circ$$, значит

   $$\angle APB=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$

2. Если $$\alpha=90^\circ$$, то

   $$\sin x=\frac{90^\circ}{360^\circ}=\frac14,$$

   следовательно,

   $$\angle APB=2\arcsin\frac14.$$

3. Если $$\alpha=60^\circ$$, то

   $$\sin x=\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac16,$$

   следовательно,

   $$\angle APB=2\arcsin\frac16.$$

Ответ: а) $$60^\circ$$; б) $$2\arcsin\frac14$$; в) $$2\arcsin\frac16$$.