Упр.358 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите дугу сектора, представляющего собой развертку боковой поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в 60°.

Развертка боковой поверхности конуса — это сектор круга радиуса $$l$$, где $$l$$ — образующая конуса. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса:

$$2\pi r.$$

Пусть $$r$$ — радиус основания, $$h$$ — высота конуса. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, угол между образующей и плоскостью основания равен $$60^\circ$$, значит

$$\cos 60^\circ=\frac{r}{l}.$$

Отсюда

$$r=l\cos 60^\circ=\frac{l}{2}.$$

Площадь сектора развертки равна площади боковой поверхности конуса:

$$S_{\text{сектора}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi l^2=\pi rl,$$

где $$\alpha$$ — градусная мера дуги сектора. Подставим $$r=\frac{l}{2}$$:

$$\frac{\alpha}{360^\circ}\pi l^2=\pi \cdot \frac{l}{2}\cdot l.$$

Сокращая на $$\pi l^2$$, получаем

$$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$\alpha=180^\circ.$$

Ответ

$$180^\circ$$