Упр.357 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой а. Найдите а, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см.

Подробный ответ

Развертка боковой поверхности конуса — это сектор круга, радиус которого равен образующей конуса $$l$$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Найдём образующую по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, где катеты равны $$r=3$$ см и $$h=4$$ см:

$$ l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\text{ см}. $$

Длина окружности основания:

$$ 2\pi r=2\pi\cdot 3=6\pi. $$

Пусть $$\alpha$$ — угол сектора развертки. Тогда длина дуги сектора равна

$$ \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi l=2\pi r. $$

Подставим значения:

$$ \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 5=6\pi. $$

Сократим на $$\pi$$:

$$ \frac{10\alpha}{360^\circ}=6. $$

Отсюда

$$ \alpha=\frac{6\cdot 360^\circ}{10}=216^\circ. $$