Упр.357 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой $$\alpha$$. Найдите $$\alpha$$, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см.

Подробный ответ

Найдём образующую конуса. По теореме Пифагора для осевого сечения:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\text{ см}.$$

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса $$l=5$$ см, длина его дуги равна длине окружности основания:

$$a=2\pi r=2\pi\cdot 3=6\pi.$$

Площадь сектора с радиусом $$5$$ и дугой $$a$$ равна площади боковой поверхности конуса:

$$\frac{a}{360^\circ}\cdot \pi l^2=\pi rl.$$

Подставим $$r=3$$, $$l=5$$:

$$\frac{a}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 25=\pi\cdot 3\cdot 5.$$

Сократим на $$\pi$$ и найдём $$a$$:

$$\frac{25a}{360^\circ}=15,$$

$$a=\frac{15\cdot 360^\circ}{25}=216^\circ.$$