Упр.356 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

Рассмотрим осевое сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. Тогда сечения конуса плоскостями, перпендикулярными к оси, являются окружностями с центрами на оси конуса.

Пусть радиусы этих сечений равны $$r_1$$ и $$r_2$$, а расстояния от вершины конуса до секущих плоскостей равны $$h_1$$ и $$h_2$$ соответственно.

Треугольники, образованные вершиной конуса, осью и радиусами сечений, подобны, поэтому

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{h_1}{h_2}.$$

Площади сечений равны

$$S_1=\pi r_1^2,\qquad S_2=\pi r_2^2.$$

Тогда

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2.$$

Следовательно, площади сечений относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей:

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{h_1^2}{h_2^2}.$$