Упр.355 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием конуса с вершиной P является круг радиуса $$r$$ с центром O. Докажите, что если секущая плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром $$O_1$$ радиуса $$r_1$$, где $$O_1$$ — точка пересечения плоскости $$\alpha$$ с осью $$PO$$, $$r_1=\frac{PO_1}{PO}\,r$$.
Рассмотрим плоскость $$\alpha$$, перпендикулярную оси конуса $$PO$$, и обозначим через $$O_1$$ точку её пересечения с осью $$PO$$.
Докажем сначала, что любая точка $$M_1$$ плоскости $$\alpha$$, лежащая на окружности с центром $$O_1$$ и радиусом $$r_1=\dfrac{PO_1}{PO}\cdot r$$, принадлежит боковой поверхности конуса.
Пусть луч $$PM_1$$ пересекает плоскость основания конуса в точке $$M$$. Тогда треугольники $$PO_1M_1$$ и $$POM$$ подобны: оба они прямоугольные, а угол при вершине $$P$$ у них общий.
Из подобия получаем
$$\frac{O_1M_1}{OM}=\frac{PO_1}{PO}.$$
Так как $$OM=r$$, то
$$O_1M_1=\frac{PO_1}{PO}\cdot r=r_1.$$
Следовательно, точка $$M$$ лежит на окружности основания конуса, а отрезок $$PM_1$$ является образующей конуса. Значит, вся окружность радиуса $$r_1$$ с центром $$O_1$$ лежит в сечении конуса плоскостью $$\alpha$$.
Докажем обратное: любая точка $$M_1$$, лежащая в плоскости $$\alpha$$ и на боковой поверхности конуса, находится на этой окружности. Пусть $$PM_1$$ — образующая конуса, а $$M$$ — точка её пересечения с плоскостью основания. Тогда из подобия треугольников $$PO_1M_1$$ и $$POM$$ имеем
$$\frac{O_1M_1}{OM}=\frac{PO_1}{PO}.$$
Так как $$OM=r$$, то снова получаем
$$O_1M_1=\frac{PO_1}{PO}\cdot r=r_1.$$
Значит, все точки сечения, лежащие на боковой поверхности конуса, образуют окружность с центром $$O_1$$ и радиусом $$r_1$$. Следовательно, сечение конуса плоскостью $$\alpha$$ представляет собой круг с центром $$O_1$$ и радиусом
$$r_1=\frac{PO_1}{PO}\cdot r.$$
