Упр.354 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Высота конуса равна $$10\ \text{см}$$. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в $$60^\circ$$, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) $$30^\circ$$; б) $$45^\circ$$; в) $$60^\circ$$.

Подробный ответ

Пусть $$h=10\text{ см}$$ — высота конуса, $$O$$ — центр основания, $$P$$ — вершина конуса, $$BC$$ — хорда основания, стягивающая дугу $$60^\circ$$. Проведём $$OA\perp BC$$, тогда $$A$$ — середина хорды $$BC$$, а плоскость сечения пересекает основание по прямой $$BC$$.

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через $$P$$ и $$BC$$. Его площадь равна

$$S=\frac12\cdot BC\cdot PH,$$

где $$PH$$ — высота треугольника сечения, опущенная на $$BC$$. Так как плоскость сечения образует с плоскостью основания угол $$\varphi$$, то в прямоугольном треугольнике $$POH$$ имеем

$$PH=\frac{PO}{\sin\varphi}=\frac{h}{\sin\varphi}.$$

Найдём хорду $$BC$$. Так как дуга $$BC$$ равна $$60^\circ$$, то центральный угол $$\angle BOC=60^\circ$$, а в равнобедренном треугольнике $$BOC$$ высота $$OA$$ является также медианой и биссектрисой. Поэтому

$$\angle BOA=30^\circ,$$

и в прямоугольном треугольнике $$OAB$$

$$\cos 30^\circ=\frac{OA}{OB},\qquad \sin 30^\circ=\frac{AB}{OB}.$$

Удобнее сразу использовать формулу хорды:

$$BC=2R\sin 30^\circ=R,$$

а из треугольника $$POA$$:

$$\tan 30^\circ=\frac{PO}{OA},\qquad OA=\frac{h}{\sqrt3}.$$

Тогда

$$R=OB=\frac{OA}{\cos 30^\circ}=\frac{h/\sqrt3}{\sqrt3/2}=\frac{2h}{3},$$

значит

$$BC=\frac{2h}{3}.$$

Следовательно,