Упр.354 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.
Обозначим через $$P$$ вершину конуса, через $$O$$ — центр основания, через $$AB$$ — хорду основания, стягивающую дугу в $$60^\circ$$. Тогда $$\angle AOB=60^\circ$$.
Проведём $$OH\perp AB$$. В равнобедренном треугольнике $$AOB$$ высота $$OH$$ является также медианой, поэтому
$$AH=HB,\qquad \angle AOH=30^\circ.$$
Так как плоскость сечения проходит через вершину $$P$$ и хорду $$AB$$, то сечение — треугольник $$PAB$$. Его площадь:
$$S_{PAB}=\frac12\cdot AB\cdot PH,$$
где $$PH$$ — высота треугольника $$PAB$$ к основанию $$AB$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$POH$$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен двугранному углу между ними, то есть углу $$\angle PHO$$. Поэтому в треугольнике $$POH$$:
$$\tan \angle PHO=\frac{PO}{OH}=\tan \alpha,$$
где $$\alpha$$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Сначала найдём $$OH$$ через радиус основания $$R=OA$$. В прямоугольном треугольнике $$AOH$$:
$$OH=OA\cos 30^\circ=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}.$$
Но для хорды, стягивающей дугу $$60^\circ$$, имеем
$$AB=2R\sin 30^\circ=R.$$
Значит, $$AB=R$$, а также
$$OH=R\cdot \frac{\sqrt3}{2}.$$
Теперь из прямоугольного треугольника $$POH$$:
$$PH=\frac{PO}{\sin \alpha}=\frac{10}{\sin \alpha}.$$
Осталось выразить $$AB$$ через $$R$$. Так как $$AB=R$$, а $$OH=\dfrac{\sqrt3}{2}R$$, то
$$R=\frac{2}{\sqrt3}OH.$$
Из треугольника $$POH$$:
$$OH=PO\cot \alpha=10\cot \alpha.$$
Следовательно,
$$AB=R=\frac{2}{\sqrt3}\cdot 10\cot \alpha=\frac{20}{\sqrt3}\cot \alpha.$$
Тогда
$$S_{PAB}=\frac12\cdot AB\cdot PH=\frac12\cdot \frac{20}{\sqrt3}\cot \alpha \cdot \frac{10}{\sin \alpha}.$$
Удобнее воспользоваться эквивалентной формой, получающейся из геометрических соотношений для данного сечения:
$$S_{PAB}=2h^2$$ при $$\alpha=30^\circ,$$
$$S_{PAB}=\frac{100\sqrt6}{3}$$ при $$\alpha=45^\circ,$$
$$S_{PAB}=\frac{200\sqrt3}{9}$$ при $$\alpha=60^\circ.$$
Подставляя $$h=10$$, получаем:
а) $$S=2\cdot 10^2=200\ \text{см}^2$$;
б) $$S=\frac{100\sqrt6}{3}\ \text{см}^2$$;
в) $$S=\frac{200\sqrt3}{9}\ \text{см}^2.$$
Ответ
а) $$200\ \text{см}^2$$; б) $$\frac{100\sqrt6}{3}\ \text{см}^2$$; в) $$\frac{200\sqrt3}{9}\ \text{см}^2$$.