Упр.353 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Образующая конуса равна /, а радиус основания равен г. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в 60°; б) в 90°.
Пусть $$P$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр основания, $$BC$$ — хорда основания. Сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду $$BC$$, есть треугольник $$PBC$$.
Так как $$PO \perp$$ плоскости основания, то $$PO \perp BC$$. Опустим из точки $$O$$ перпендикуляр $$OK$$ на хорду $$BC$$. Тогда $$OK \perp BC$$, а значит, прямая $$PK$$ тоже перпендикулярна $$BC$$. Следовательно, $$PK$$ — высота треугольника $$PBC$$, и
$$S_{PBC}=\frac12\cdot BC\cdot PK.$$
Обозначим образующую конуса через $$l$$, радиус основания — через $$r$$.
Для хорды, стягивающей дугу $$60^\circ$$, имеем
$$BC=2r\sin 30^\circ=r.$$
В равнобедренном треугольнике $$POK$$:
$$PK=\sqrt{PO^2+OK^2}.$$
Так как $$PO^2=l^2-r^2$$, а при дуге $$60^\circ$$
$$OK=r\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}r,$$
то
$$PK=\sqrt{l^2-r^2+\frac34r^2}=\frac12\sqrt{4l^2-r^2}.$$
Тогда
$$S_1=\frac12\cdot r\cdot \frac12\sqrt{4l^2-r^2}=\frac{r}{4}\sqrt{4l^2-r^2}.$$
Для хорды, стягивающей дугу $$90^\circ$$, имеем
$$BC=2r\sin 45^\circ=r\sqrt2,$$
а
$$OK=r\cos 45^\circ=\frac{r}{\sqrt2}.$$
Тогда
$$PK=\sqrt{l^2-r^2+\frac{r^2}{2}}=\sqrt{l^2-\frac{r^2}{2}}=\frac12\sqrt{2l^2-r^2}.$$
Следовательно,
$$S_2=\frac12\cdot r\sqrt2\cdot \frac12\sqrt{2l^2-r^2}=\frac{r}{2}\sqrt{2l^2-r^2}.$$
Ответ
а) $$S=\frac{r}{4}\sqrt{4l^2-r^2}$$; б) $$S=\frac{r}{2}\sqrt{2l^2-r^2}$$.