Упр.353 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Образующая конуса равна $$l$$, а радиус основания равен $$r$$. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в $$60^\circ$$; б) в $$90^\circ$$.
Пусть $$P$$ — вершина конуса, $$O$$ — центр основания, $$BC$$ — хорда основания. Тогда сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду $$BC$$, есть треугольник $$PBC$$.
Поскольку $$PO \perp$$ плоскости основания, а $$OK \perp BC$$, то прямая $$PK$$ перпендикулярна $$BC$$. Значит, $$PK$$ — высота треугольника $$PBC$$, и
$$S_{PBC}=\frac12\cdot BC\cdot PK.$$
Обозначим радиус основания через $$r$$, а образующую конуса — через $$l$$. Тогда $$PB=PC=l$$.
Если хорда $$BC$$ стягивает дугу $$\alpha$$, то
$$BC=2r\sin\frac{\alpha}{2}.$$
Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$POK$$
$$PK=\sqrt{PO^2+OK^2}.$$
Так как $$PO^2=l^2-r^2$$, а $$OK=r\cos\frac{\alpha}{2}$$, то
$$PK=\sqrt{l^2-r^2+r^2\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{l^2-r^2\sin^2\frac{\alpha}{2}}.$$
Тогда
$$S=\frac12\cdot 2r\sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sqrt{l^2-r^2\sin^2\frac{\alpha}{2}}.$$
Подставим значения угла.
а) При $$\alpha=60^\circ$$ имеем $$BC=r$$ и
$$PK=\sqrt{l^2-\left(\frac r2\right)^2}=\frac{\sqrt{4l^2-r^2}}{2}.$$
Следовательно,
$$S=\frac12\cdot r\cdot \frac{\sqrt{4l^2-r^2}}{2}=\frac r4\sqrt{4l^2-r^2}.$$
б) При $$\alpha=90^\circ$$ имеем $$BC=r\sqrt2$$ и
$$PK=\sqrt{l^2-\left(\frac{r}{\sqrt2}\right)^2}=\frac{\sqrt{2l^2-r^2}}{\sqrt2}.$$
Тогда
$$S=\frac12\cdot r\sqrt2\cdot \frac{\sqrt{2l^2-r^2}}{\sqrt2}=\frac r2\sqrt{2l^2-r^2}.$$
Ответ: а) $$\frac r4\sqrt{4l^2-r^2}$$; б) $$\frac r2\sqrt{2l^2-r^2}$$.
