Упр.351 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота конуса равна $$h$$, а угол между высотой и образующей конуса равен $$60^\circ$$. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$, где $$O$$ — центр основания конуса, $$A$$ — вершина, $$B$$ — точка на окружности основания.

Так как $$AO$$ — высота конуса, то $$AO \perp OB$$, значит, треугольник $$AOB$$ прямоугольный. По условию угол между высотой и образующей равен $$60^\circ$$, то есть $$\angle BAO=60^\circ$$. Тогда

$$\angle ABO=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы. Следовательно,

$$AB=2AO=2h.$$

Плоскость сечения проходит через две взаимно перпендикулярные образующие, значит, сечение — треугольник с двумя сторонами, равными образующим конуса. Пусть эти образующие равны $$AB$$ и $$AC$$, причём $$AB \perp AC$$. Тогда площадь сечения равна

$$S=\frac12 \cdot AB \cdot AC.$$

Так как $$AB=AC=2h$$, получаем

$$S=\frac12 \cdot 2h \cdot 2h=2h^2.$$

Ответ: $$2h^2$$.