Упр.351 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен 60°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.

Рассмотрим осевое сечение конуса треугольником $$AOB$$, где $$AO=h$$ — высота конуса, $$OB$$ — радиус основания, $$AB$$ — образующая.

Так как $$AO \perp OB$$, треугольник $$AOB$$ прямоугольный. По условию угол между высотой и образующей равен $$60^\circ$$, значит

$$\angle BAO=60^\circ,$$

следовательно,

$$\angle ABO=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы. Поэтому

$$OB=\frac{1}{2}AB.$$

Но $$AO$$ лежит против угла $$30^\circ$$, значит

$$AO=\frac{1}{2}AB,$$

откуда

$$AB=2h.$$

Плоскость, проходящая через две взаимно перпендикулярные образующие, даёт сечение в виде треугольника с этими образующими в качестве сторон. Так как образующие перпендикулярны, площадь сечения равна

$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC.$$

Поскольку обе образующие равны длине $$AB=AC=2h$$, получаем

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2h\cdot 2h=2h^2.$$

Ответ

$$2h^2$$