Упр.350 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2r. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

Подробный ответ

Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной $$2r$$, значит его боковые стороны равны $$2r$$.

Сечение, проведённое через две образующие, даёт треугольник с двумя сторонами $$2r$$ и углом между ними, равным углу между образующими. Поэтому его площадь найдём по формуле

$$S=\frac12 ab\sin\gamma.$$

Здесь $$a=b=2r$$, а $$\gamma$$ — заданный угол между образующими.

Тогда

$$S=\frac12\cdot 2r\cdot 2r\cdot \sin\gamma=2r^2\sin\gamma.$$

а) При $$\gamma=30^\circ$$:

$$S=2r^2\sin 30^\circ=2r^2\cdot \frac12=r^2.$$

б) При $$\gamma=45^\circ$$:

$$S=2r^2\sin 45^\circ=2r^2\cdot \frac{\sqrt2}{2}=r^2\sqrt2.$$

в) При $$\gamma=60^\circ$$:

$$S=2r^2\sin 60^\circ=2r^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=r^2\sqrt3.$$