Упр.35 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

точек с прямой $$a$$. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая $$a$$ являются скрещивающимися прямыми.

Докажем утверждение от противного.

Предположим, что обе прямые $$b$$ и $$c$$ не скрещиваются с прямой $$a$$. Тогда, так как они не имеют с ней общих точек, получаем:

$$b \parallel a,\qquad c \parallel a.$$

Но через точку $$M$$, не лежащую на прямой $$a$$, проходят две прямые $$b$$ и $$c$$, параллельные одной и той же прямой $$a$$. Значит, они должны совпадать или быть параллельными между собой. Однако по условию $$b \cap c = \varnothing$$, а обе прямые проходят через точку $$M$$, то есть $$b \cap c = M$$. Противоречие.

Следовательно, наше предположение неверно. Значит, по крайней мере одна из прямых $$b$$ и $$c$$ со прямой $$a$$ является скрещивающейся.

Ответ: либо $$a$$ и $$b$$, либо $$a$$ и $$c$$ — скрещивающиеся прямые.