Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.35 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$K$$, $$L$$ и $$M$$ так, что $$AK:KB=2:3$$, $$BL:LC=1:2$$ и $$CM:MA=3:1$$. В каком отношении точка пересечения отрезков $$KL$$ и $$BM$$ делит отрезок $$BM$$?

Обозначим точку пересечения отрезков $$KL$$ и $$BM$$ через $$P$$.

Применим теорему Менелая к треугольнику $$ABC$$ для секущей $$KLM$$:

$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CD}{DA}=1$$

Подставим данные отношения:
$$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{CD}{DA}=1$$
откуда
$$\frac{CD}{DA}=3.$$

Тогда $$AC=AD+DC=DA+3DA=4DA$$, а так как $$CM:MA=3:1$$, то

$$MA=\frac{AC}{4}=\frac{DA}{1}, \qquad CM=3MA=3DA.$$

Следовательно,
$$DM=DA+AM=DA+DA=2DA.$$

Теперь применим теорему Менелая к треугольнику $$MBC$$ для секущей $$KLP$$:

$$\frac{MP}{PB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CD}{DM}=1.$$

Подставим найденные отношения:

$$\frac{MP}{PB}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3DA}{2DA}=1,$$

$$\frac{MP}{PB}\cdot \frac{3}{4}=1, \qquad \frac{MP}{PB}=\frac{4}{3}.$$

Значит, точка пересечения делит отрезок $$BM$$ в отношении

$$BP:PM=3:4.$$

Ответ: $$3:4$$.