Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.35 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС отмечены точки К, L и М так, что АК:КВ=2:3, BL:LC=1:2 и СМ:МА=3:1. В каком отношении точка пересечения отрезков KL и ВМ делит отрезок ВМ?

Обозначим точку пересечения отрезков $$KL$$ и $$BM$$ через $$P$$. Применим теорему Менелая.

В треугольнике $$ABC$$ для прямой $$KLP$$ получаем:

$$ \frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CD}{DA}=1. $$

Подставим данные отношения:

$$ \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{CD}{DA}=1, $$

откуда

$$ \frac{CD}{DA}=3. $$

Тогда

$$ AC=CD-DA=3DA-DA=2DA. $$

С другой стороны, по условию $$CM:MA=3:1$$, значит

$$ AC=CM+MA=3MA+MA=4MA, $$

следовательно,

$$ MA=\frac{DA}{2}. $$

Теперь найдём $$DM$$:

$$ DM=DA+AM=DA+\frac{DA}{2}=\frac{3}{2}DA. $$

Рассмотрим треугольник $$MBC$$ и прямую $$KLP$$. По теореме Менелая:

$$ \frac{MP}{PB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CD}{DM}=1. $$

Подставим найденные значения:

$$ \frac{MP}{PB}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3DA}{\frac{3}{2}DA}=1, $$

то есть

$$ \frac{MP}{PB}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=1. $$

Отсюда

$$ \frac{MP}{PB}=1. $$

Значит, точка $$P$$ делит отрезок $$BM$$ пополам.

Ответ

$$1:1$$