Упр.35 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через точку M, не лежащую на прямой о, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.

Рассмотрим доказательство от противного.

Предположим, что обе прямые $$b$$ и $$c$$ не являются скрещивающимися с прямой $$a$$. Так как по условию они не имеют с прямой $$a$$ общих точек, то в этом случае каждая из них должна быть параллельна прямой $$a$$:

$$b \parallel a,\qquad c \parallel a.$$

Но тогда прямые $$b$$ и $$c$$ параллельны одной и той же прямой $$a$$, значит, $$b \parallel c$$. Это невозможно, потому что обе прямые проходят через точку $$M$$, а через одну точку нельзя провести две различные параллельные прямые к одной и той же прямой.

Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, и по крайней мере одна из прямых $$b$$ или $$c$$ со прямой $$a$$ является скрещивающейся.

Ответ

Либо $$a$$ и $$b$$, либо $$a$$ и $$c$$ — скрещивающиеся прямые.