Упр.348 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота конуса равна 8 дм. Ha каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания?

Подробный ответ

Пусть плоскость, параллельная основанию конуса, пересекает его на расстоянии $$x$$ от вершины. Тогда отсечённый сверху конус подобен исходному, а все линейные размеры относятся как $$\frac{x}{8}$$.

Площади подобных сечений относятся как квадраты коэффициента подобия:

$$\frac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}=\left(\frac{x}{8}\right)^2.$$

а) Если площадь сечения равна половине площади основания, то

$$\left(\frac{x}{8}\right)^2=\frac12.$$

Тогда

$$\frac{x}{8}=\frac{1}{\sqrt2}, \qquad x=\frac{8}{\sqrt2}=4\sqrt2.$$

б) Если площадь сечения равна четверти площади основания, то

$$\left(\frac{x}{8}\right)^2=\frac14.$$

Тогда

$$\frac{x}{8}=\frac12, \qquad x=4.$$