Упр.347 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под утлом а. Найдите площадь основания конуса, если: а) а = 30°; б) а = 45°; в) oc = 600.
Рассмотрим осевое сечение конуса. В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ гипотенуза $$AB=12$$ см — образующая конуса, а $$OB=r$$ — радиус основания. Угол между образующей и плоскостью основания равен углу $$\angle OBA=\alpha$$, поэтому
$$\cos \alpha=\frac{OB}{AB}=\frac{r}{12}.$$
Отсюда
$$r=12\cos \alpha.$$
Площадь основания конуса:
$$S=\pi r^2.$$
а) При $$\alpha=30^\circ$$
$$r=12\cos 30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$$
Тогда
$$S=\pi(6\sqrt{3})^2=108\pi\ \text{см}^2.$$
б) При $$\alpha=45^\circ$$
$$r=12\cos 45^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}.$$
Тогда
$$S=\pi(6\sqrt{2})^2=72\pi\ \text{см}^2.$$
в) При $$\alpha=60^\circ$$
$$r=12\cos 60^\circ=12\cdot \frac{1}{2}=6.$$
Тогда
$$S=\pi\cdot 6^2=36\pi\ \text{см}^2.$$
Ответ
а) $$108\pi\ \text{см}^2$$; б) $$72\pi\ \text{см}^2$$; в) $$36\pi\ \text{см}^2$$.