Упр.347 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Образующая конуса, равная $$12\text{ см}$$, наклонена к плоскости основания под углом $$\alpha$$. Найдите площадь основания конуса, если: а) $$\alpha=30^\circ$$; б) $$\alpha=45^\circ$$; в) $$\alpha=60^\circ$$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. В прямоугольном треугольнике $$AOB$$ гипотенуза $$AB=12$$ см — образующая конуса, а катет $$OB$$ равен радиусу основания $$R$$. Угол между образующей и плоскостью основания равен углу $$\angle OBA=\alpha$$, поэтому

$$\cos \alpha=\frac{OB}{AB}=\frac{R}{12}.$$

Следовательно,

$$R=12\cos \alpha,$$

а площадь основания конуса

$$S=\pi R^2=\pi(12\cos \alpha)^2=144\pi\cos^2\alpha.$$

Теперь найдём площадь в каждом случае.

1. Если $$\alpha=30^\circ$$, то

   $$R=12\cos 30^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3},$$

   $$S=\pi(6\sqrt{3})^2=108\pi\ \text{см}^2.$$

2. Если $$\alpha=45^\circ$$, то

   $$R=12\cos 45^\circ=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2},$$

   $$S=\pi(6\sqrt{2})^2=72\pi\ \text{см}^2.$$

3. Если $$\alpha=60^\circ$$, то

   $$R=12\cos 60^\circ=12\cdot \frac{1}{2}=6,$$

   $$S=\pi\cdot 6^2=36\pi\ \text{см}^2.$$

Ответ: а) $$108\pi\ \text{см}^2$$; б) $$72\pi\ \text{см}^2$$; в) $$36\pi\ \text{см}^2$$.