Упр.345 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой AB, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если AB = а, BC = b.

При вращении прямоугольника $$ABCD$$ вокруг прямой $$AB$$ получаем цилиндр, у которого высота равна $$AB$$, а радиус основания равен $$BC$$.

Тогда площадь боковой поверхности первого цилиндра:

$$S_{\text{бок}1}=2\pi \cdot AB \cdot BC.$$

При вращении того же прямоугольника вокруг прямой $$BC$$ получаем цилиндр, у которого высота равна $$BC$$, а радиус основания равен $$AB$$.

Тогда площадь боковой поверхности второго цилиндра:

$$S_{\text{бок}2}=2\pi \cdot BC \cdot AB.$$

Следовательно,

$$S_{\text{бок}1}=S_{\text{бок}2}.$$

Теперь найдём отношение полных поверхностей. Для первого цилиндра:

$$S_{\text{полн}1}=2\pi AB\cdot BC+2\pi BC^2.$$

Для второго цилиндра:

$$S_{\text{полн}2}=2\pi AB\cdot BC+2\pi AB^2.$$

Подставим $$AB=a$$, $$BC=b$$:

$$S_{\text{полн}1}=2\pi ab+2\pi b^2=2\pi b(a+b),$$

$$S_{\text{полн}2}=2\pi ab+2\pi a^2=2\pi a(a+b).$$

Тогда

$$\frac{S_{\text{полн}1}}{S_{\text{полн}2}}=\frac{2\pi b(a+b)}{2\pi a(a+b)}=\frac{b}{a}.$$

Ответ

а) $$S_{\text{бок}1}=S_{\text{бок}2}$$; б) $$\dfrac{S_{\text{полн}1}}{S_{\text{полн}2}}=\dfrac{b}{a}$$.