Упр.345 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой AB, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой BC. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны; б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если $$AB=a$$, $$BC=b$$.

При вращении прямоугольника вокруг его стороны получается цилиндр, у которого:

• высота равна длине оси вращения;
• радиус равен длине другой стороны прямоугольника.

Поэтому для первого цилиндра при вращении вокруг $$AB$$ имеем $$h=AB=a$$, $$r=BC=b$$, а для второго при вращении вокруг $$BC$$ имеем $$h=BC=b$$, $$r=AB=a$$.

а)

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $$S_{\text{бок}}=2\pi rh.$$

Тогда для первого цилиндра

$$S_{\text{бок}1}=2\pi \cdot b \cdot a=2\pi ab,$$

а для второго цилиндра

$$S_{\text{бок}2}=2\pi \cdot a \cdot b=2\pi ab.$$

Следовательно, $$S_{\text{бок}1}=S_{\text{бок}2}$$.

б)

Полная поверхность цилиндра равна сумме боковой поверхности и площадей двух оснований:

$$S_{\text{полн}}=2\pi rh+2\pi r^2.$$

Для первого цилиндра:

$$S_1=2\pi ab+2\pi b^2=2\pi b(a+b).$$

Для второго цилиндра:

$$S_2=2\pi ab+2\pi a^2=2\pi a(a+b).$$

Тогда

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\pi b(a+b)}{2\pi a(a+b)}=\frac{b}{a}.$$

Ответ: а) $$S_{\text{бок}1}=S_{\text{бок}2}$$; б) $$\frac{S_1}{S_2}=\frac{b}{a}$$.