Упр.342 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Угол между диагоналями развёртки боковой поверхности цилиндра равен $$\varphi$$, диагональ равна $$d$$. Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.

Подробный ответ

Боковая поверхность цилиндра при развертке даёт прямоугольник со сторонами $$2\pi R$$ и $$h$$, где $$R$$ — радиус основания, $$h$$ — высота цилиндра. Диагонали этого прямоугольника равны $$d$$, а угол между ними равен $$\varphi$$.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a=2\pi R$$ и $$b=h$$. Тогда для диагоналей прямоугольника верно:

$$d^2=a^2+b^2$$

Угол между диагоналями прямоугольника удовлетворяет формуле

$$\cos\varphi=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}.$$

Отсюда

$$a^2=\frac{d^2(1+\cos\varphi)}{2}, \qquad b^2=\frac{d^2(1-\cos\varphi)}{2}.$$

Значит,

$$2\pi R=a=d\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}, \qquad h=b=d\sqrt{\frac{1-\cos\varphi}{2}}.$$

Теперь найдём площади.

$$S_{\text{бок}}=2\pi Rh = \left(d\sqrt{\frac{1+\cos\varphi}{2}}\right)\left(d\sqrt{\frac{1-\cos\varphi}{2}}\right) = \frac{d^2}{2}\sin\varphi.$$

Площадь двух оснований:

$$2S_{\text{осн}}=2\pi R^2 =2\pi\left(\frac{d^2(1+\cos\varphi)}{8\pi^2}\right) =\frac{d^2(1+\cos\varphi)}{4\pi}.$$

Следовательно, полная поверхность цилиндра равна

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}} =\frac{d^2}{2}\sin\varphi+\frac{d^2(1+\cos\varphi)}{4\pi}.$$

Если за угол между диагоналями принять другой из двух смежных углов, то в формуле для площади боковой поверхности получится $$\sin(180^\circ-\varphi)=\sin\varphi$$, а для площади оснований — соответствующая замена $$\cos\varphi\to -\cos\varphi$$. Поэтому возможен второй вариант:

$$S_{\text{бок}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi,\qquad S_{\text{полн}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi+\frac{d^2(1-\cos\varphi)}{4\pi}.$$

Ответ: $$S_{\text{бок}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi$$, а $$S_{\text{полн}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi+\frac{d^2(1\pm\cos\varphi)}{4\pi}$$; знак зависит от того, какой из углов между диагоналями равен $$\varphi$$.