Упр.342 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен ф, диагональ равна d. Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.

Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник. Его стороны равны высоте цилиндра $$h$$ и длине окружности основания $$2\pi R$$. Диагонали прямоугольника равны $$d$$ и пересекаются под углом $$\varphi$$.

Пусть одна диагональ образует с горизонтальной стороной угол $$\frac{\varphi}{2}$$. Тогда для прямоугольника

$$ h=d\sin\frac{\varphi}{2}, \qquad 2\pi R=d\cos\frac{\varphi}{2}. $$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$ S_{\text{бок}}=2\pi Rh=(2\pi R)\cdot h =d\cos\frac{\varphi}{2}\cdot d\sin\frac{\varphi}{2} =\frac{d^2}{2}\sin\varphi. $$

Площадь двух оснований:

$$ 2S_{\text{осн}}=2\pi R^2 =2\pi\left(\frac{d\cos\frac{\varphi}{2}}{2\pi}\right)^2 =\frac{d^2}{2\pi}\cos^2\frac{\varphi}{2}. $$

Если же за угол $$\varphi$$ взят другой угол между диагоналями, то вместо $$\cos\frac{\varphi}{2}$$ и $$\sin\frac{\varphi}{2}$$ нужно поменять их местами. Тогда получаем второй возможный вариант:

$$ S_{\text{бок}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi,\qquad 2S_{\text{осн}}=\frac{d^2}{2\pi}\sin^2\frac{\varphi}{2}. $$

Следовательно, полная поверхность цилиндра равна

$$ S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}. $$

То есть возможны два ответа:

$$ S_{\text{полн}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi+\frac{d^2}{2\pi}\cos^2\frac{\varphi}{2} $$
или
$$ S_{\text{полн}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi+\frac{d^2}{2\pi}\sin^2\frac{\varphi}{2}. $$

Ответ

$$ S_{\text{бок}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi, $$
$$ S_{\text{полн}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi+\frac{d^2}{2\pi}\cos^2\frac{\varphi}{2} $$
или
$$ S_{\text{полн}}=\frac{d^2}{2}\sin\varphi+\frac{d^2}{2\pi}\sin^2\frac{\varphi}{2}. $$