Упр.341 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен $$\varphi$$, площадь основания цилиндра равна $$S$$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$, а высота — $$h$$. Тогда площадь основания

$$\pi R^2=S,$$

откуда

$$R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}.$$

Диагональ осевого сечения цилиндра образует с образующей угол $$\varphi$$. Осевое сечение — прямоугольник со сторонами $$2R$$ и $$h$$, поэтому

$$\tan\varphi=\frac{2R}{h},$$

следовательно,

$$h=\frac{2R}{\tan\varphi}=2R\ctg\varphi.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{бок}}=2\pi Rh.$$

Подставим найденное значение $$h$$:

$$S_{\text{бок}}=2\pi R\cdot 2R\ctg\varphi =4\pi R^2\ctg\varphi =4S\ctg\varphi.$$

Ответ: $$4S\ctg\varphi$$.