Упр.341 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен ф, площадь основания цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Подробный ответ

Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$, а высота — $$h$$. Тогда площадь основания

$$\pi R^2=S,$$

откуда

$$R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}.$$

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2R$$ и $$h$$. Его диагональ образует с образующей цилиндра угол $$\varphi$$, значит в прямоугольном треугольнике

$$\ctg\varphi=\frac{h}{2R}.$$

Следовательно,

$$h=2R\ctg\varphi=2\sqrt{\frac{S}{\pi}}\ctg\varphi.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{бок}}=2\pi Rh.$$

Подставим найденные значения:

$$ S_{\text{бок}}=2\pi \sqrt{\frac{S}{\pi}}\cdot 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}\ctg\varphi =4S\ctg\varphi. $$