Упр.34 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка $$D$$ не лежит в плоскости треугольника $$ABC$$, точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ — середины отрезков $$DA$$, $$DB$$ и $$DC$$ соответственно, точка $$K$$ лежит на отрезке $$BN$$. Выясните взаимное расположение прямых: а) $$ND$$ и $$AB$$; б) $$PK$$ и $$BC$$; в) $$MN$$ и $$AB$$; г) $$MP$$ и $$AC$$; д) $$KN$$ и $$AC$$; е) $$MD$$ и $$BC$$.

Подробный ответ

а) Точка $$B$$ принадлежит и прямой $$ND$$, и прямой $$AB$$, значит, эти прямые пересекаются в точке $$B$$.

б) В треугольнике $$DBC$$ точки $$N$$ и $$P$$ — середины сторон $$DB$$ и $$DC$$, поэтому $$PN$$ — средняя линия треугольника $$DBC$$. Следовательно, $$PN \parallel BC$$. Так как точка $$K$$ лежит на отрезке $$BN$$, то прямая $$PK$$ лежит в плоскости $$PBN$$ и проходит через точку $$P$$, а плоскость $$PBN$$ пересекает плоскость $$BCD$$ по прямой $$PN$$. Поскольку $$PK$$ не совпадает с $$PN$$, то $$PK$$ и $$BC$$ пересекаются.

в) В треугольнике $$ABD$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$DA$$ и $$DB$$, значит, $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$. Поэтому $$MN \parallel AB$$.

г) В треугольнике $$ACD$$ точки $$M$$ и $$P$$ — середины сторон $$DA$$ и $$DC$$, значит, $$MP$$ — средняя линия треугольника $$ACD$$. Следовательно, $$MP \parallel AC$$.

д) Прямая $$KN$$ лежит в плоскости $$DBN$$ и пересекает плоскость $$ABC$$ в точке $$B$$, так как $$B \in DB$$ и $$B \in BN$$. Точка $$B$$ не принадлежит прямой $$AC$$, значит, $$KN$$ и $$AC$$ не пересекаются. Кроме того, $$KN$$ не параллельна $$AC$$, следовательно, эти прямые скрещиваются.

е) Прямая $$MD$$ лежит в плоскости $$ABD$$ и пересекает плоскость $$ABC$$ в точке $$A$$, так как $$A \in AD$$ и $$A \in AM$$. Точка $$A$$ не принадлежит прямой $$BC$$, значит, $$MD$$ и $$BC$$ не пересекаются. Кроме того, $$MD$$ не параллельна $$BC$$, следовательно, эти прямые скрещиваются.

Ответ: а) пересекаются; б) пересекаются; в) параллельны; г) параллельны; д) скрещиваются; е) скрещиваются.