Упр.335 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна $$S$$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
Обозначим радиус основания цилиндра через $$R$$, высоту — через $$h$$. Пусть плоскости пересекают основание цилиндра по хордам $$AC$$ и $$BC$$, причём $$AC \perp BC$$, а площади полученных сечений равны $$S$$.
Площадь каждого такого сечения равна произведению высоты цилиндра на длину соответствующей хорды:
$$S=h\cdot AC,\qquad S=h\cdot BC.$$
Так как площади равны, то $$AC=BC$$. Кроме того, угол $$\angle ACB=90^\circ$$, значит треугольник $$ACB$$ прямоугольный и равнобедренный. Тогда его гипотенуза
$$AB=AC\sqrt{2}.$$
Но $$AB$$ — диаметр основания цилиндра, поэтому
$$AB=2R,$$
откуда
$$AC=BC=\frac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}.$$
Тогда
$$S=h\cdot R\sqrt{2}.$$
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2R$$ и $$h$$, поэтому его площадь равна
$$S_{\text{ос}}=2Rh.$$
Подставим $$hR=\dfrac{S}{\sqrt{2}}$$:
$$S_{\text{ос}}=2Rh=2\cdot \frac{S}{\sqrt{2}}=S\sqrt{2}.$$
Ответ: $$S\sqrt{2}$$.
