Упр.335 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Подробный ответ

Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$, а высота — $$h$$. Обозначим через $$l$$ длину хорды, по которой каждое из данных сечений пересекает основание цилиндра.

Площадь любого такого сечения равна произведению высоты цилиндра на длину соответствующей хорды, то есть

$$S=hl.$$

Так как плоскости сечений взаимно перпендикулярны и проходят через одну образующую цилиндра, то в основании цилиндра соответствующие хорды тоже взаимно перпендикулярны. Обозначим их концы через $$A$$ и $$B$$, а центр основания — через $$O$$. Тогда $$\angle AOB=90^\circ$$, а хорды равны:

$$AC=BC=l.$$

Для хорды длины $$l$$ в окружности радиуса $$R$$ имеем

$$l^2=2R^2,$$

откуда

$$R=\frac{l}{\sqrt{2}}.$$

Площадь осевого сечения цилиндра равна площади прямоугольника со сторонами $$2R$$ и $$h$$:

$$S_{\text{ос}}=2Rh=2h\cdot \frac{l}{\sqrt{2}}=hl\sqrt{2}.$$

Но $$hl=S$$, значит

$$S_{\text{ос}}=S\sqrt{2}.$$