Упр.334 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в $$60^\circ$$. Образующая цилиндра равна $$10^3$$ см, расстояние от оси до секущей плоскости равно $$2$$ см. Найдите площадь сечения.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр основания цилиндра, $$A$$ и $$C$$ — точки пересечения секущей плоскости с окружностью основания, $$H$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на хорду $$AC$$. Тогда $$\triangle AOC$$ равнобедренный, так как $$OA=OC$$.

Так как плоскость параллельна оси цилиндра и отсекает дугу $$60^\circ$$, то центральный угол $$\angle AOC=60^\circ$$. В равнобедренном треугольнике высота $$OH$$ к основанию $$AC$$ является одновременно медианой и биссектрисой, значит

$$\angle COH=30^\circ.$$

Из прямоугольного треугольника $$OHC$$:

$$\cos 30^\circ=\frac{OH}{OC}=\frac{2}{OC},$$

откуда

$$OC=\frac{2}{\cos 30^\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}/2}=\frac{4}{\sqrt{3}}.$$

$$\sin 30^\circ=\frac{HC}{OC},$$

значит

$$HC=OC\cdot \sin 30^\circ=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \frac12=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Так как $$OH$$ — медиана, то

$$AC=2HC=\frac{4}{\sqrt{3}}.$$

Сечение цилиндра — прямоугольник, одна его сторона равна образующей цилиндра $$10\sqrt{3}$$ см, а другая — хорде $$AC$$. Тогда площадь сечения:

$$S=10\sqrt{3}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=40.$$