Упр.333 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в $$120^\circ$$. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна $$h$$, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно $$d$$.

Подробный ответ

Рассмотрим окружность основания цилиндра с центром $$O$$. Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает основание по хорде $$AC$$, которая стягивает дугу $$120^\circ$$. Тогда центральный угол $$\angle AOC=120^\circ$$.

Пусть $$H$$ — середина хорды $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$AOC$$ отрезок $$OH$$ является и высотой, и медианой, и биссектрисой. Значит,

$$\angle COH=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$OHC$$ имеем:

$$\cos 60^\circ=\frac{OH}{OC}=\frac{d}{OC},$$

откуда

$$OC=2d.$$

Далее,

$$\sin 60^\circ=\frac{HC}{OC}=\frac{HC}{2d},$$

следовательно,

$$HC=d\sqrt{3}.$$

Так как $$OH$$ — медиана, то

$$AC=2HC=2d\sqrt{3}.$$

Сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$h$$ и $$AC$$, поэтому его площадь равна