Упр.332 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота цилиндра равна $$h$$, а площадь осевого сечения равна $$S$$. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между осью цилиндра и плоскостью сечения равно $$d$$.

Площадь осевого сечения цилиндра равна

$$S=2Rh,$$

откуда

$$R=\frac{S}{2h}.$$

Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, — прямоугольник. Его высота равна $$h$$, а ширина равна длине хорды основания, отстоящей от центра на расстояние $$d$$.

Рассмотрим в основании цилиндра окружность радиуса $$R$$. Тогда половина хорды равна

$$\sqrt{R^2-d^2}.$$

Следовательно, вся хорда равна

$$2\sqrt{R^2-d^2}.$$

Тогда площадь искомого сечения:

$$S_{\text{сеч}}=h\cdot 2\sqrt{R^2-d^2}.$$

Подставим $$R=\frac{S}{2h}$$:

$$S_{\text{сеч}}=2h\sqrt{\left(\frac{S}{2h}\right)^2-d^2} =2h\sqrt{\frac{S^2}{4h^2}-d^2} =\sqrt{S^2-4h^2d^2}.$$

Ответ: $$\sqrt{S^2-4h^2d^2}.$$