Упр.33 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.
Рассмотрим две из данных прямых, например $$a$$ и $$c$$. Возможны только два случая:
- $$a \parallel c$$;
- $$a$$ и $$c$$ пересекаются в точке $$O$$.
Если $$a \parallel c$$, то прямая $$c$$ лежит в плоскости $$\gamma$$ и параллельна прямой $$a$$, лежащей в плоскости $$\alpha$$. По теореме о параллельности прямой и плоскости получаем, что $$c \parallel \alpha$$. Аналогично, так как $$a \subset \beta$$ и $$c \parallel a$$, то $$c \parallel \beta$$. Следовательно, $$a \parallel b \parallel c$$.
Если же $$a$$ и $$c$$ пересекаются в точке $$O$$, то эта точка принадлежит плоскостям $$\alpha$$ и $$\beta$$, так как $$a=\alpha\cap\beta$$, а также плоскостям $$\beta$$ и $$\gamma$$, так как $$c=\beta\cap\gamma$$. Значит, $$O \in \alpha$$, $$O \in \beta$$ и $$O \in \gamma$$, то есть все три плоскости имеют общую точку.
Итак, прямые, по которым три плоскости попарно пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.
Ответ: либо $$a \parallel b \parallel c$$, либо $$\alpha \cap \beta \cap \gamma = O$$.
