Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.33 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Окружности радиусов 4 и 9 касаются друг друга извне, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и данной прямой.

Пусть радиусы данных окружностей равны $$r_1=9$$ и $$r_2=4$$, а радиус искомой окружности равен $$r_3$$. Обозначим точки касания окружностей с прямой через $$A_1, A_2, A_3$$.

Для двух окружностей, касающихся одной прямой и друг друга извне, расстояние между точками касания на прямой выражается формулой

$$A_iA_j=2\sqrt{r_ir_j}.$$

Тогда

$$A_1A_2=2\sqrt{r_1r_2},\qquad A_1A_3=2\sqrt{r_1r_3},\qquad A_2A_3=2\sqrt{r_2r_3}.$$

Так как окружности расположены по одну сторону от прямой и касаются друг друга, точки $$A_1, A_3, A_2$$ лежат на одной прямой, причём

$$A_1A_3+A_3A_2=A_1A_2.$$

Подставим формулы:

$$2\sqrt{r_1r_3}+2\sqrt{r_2r_3}=2\sqrt{r_1r_2}.$$

Сократим на $$2$$:

$$\sqrt{r_3}\,(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})=\sqrt{r_1r_2}.$$

Отсюда

$$r_3=\frac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2})^2}.$$

Подставим $$r_1=9$$, $$r_2=4$$:

$$r_3=\frac{9\cdot 4}{(3+2)^2}=\frac{36}{25}=1{,}44.$$

Возможен и второй вариант расположения искомой окружности, когда в формуле получается разность:

$$r_3=\frac{r_1r_2}{(\sqrt{r_1}-\sqrt{r_2})^2}=\frac{36}{(3-2)^2}=36.$$

Ответ: $$1{,}44$$ или $$36$$.