Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.33 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружности радиусов 4 и 9 касаются друг друга извне, лежат по одну сторону от некоторой прямой и касаются этой прямой. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и данной прямой.

Пусть радиусы данных окружностей равны $$r_1=9$$ и $$r_2=4$$, а радиус искомой окружности равен $$r_3$$. Обозначим точки касания окружностей с прямой через $$A_1, A_2, A_3$$ соответственно.

Тогда центры окружностей находятся на перпендикулярах к прямой, проведённых через точки касания, и расстояния между точками касания выражаются по теореме Пифагора:

$$A_1A_2=\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2}=2\sqrt{r_1r_2}$$

Аналогично,
$$A_1A_3=2\sqrt{r_1r_3}, \qquad A_2A_3=2\sqrt{r_2r_3}.$$

Так как все три точки касания лежат на одной прямой, то возможны два случая:

$$A_1A_3+A_2A_3=A_1A_2$$
или
$$A_1A_2+A_2A_3=A_1A_3.$$

1) Первый случай:

$$2\sqrt{r_1r_3}+2\sqrt{r_2r_3}=2\sqrt{r_1r_2}$$
$$\left(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2}\right)\sqrt{r_3}=\sqrt{r_1r_2}$$
$$r_3=\frac{r_1r_2}{\left(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_2}\right)^2}.$$

Подставим $$r_1=9$$, $$r_2=4$$:

$$r_3=\frac{9\cdot 4}{(3+2)^2}=\frac{36}{25}=1{,}44.$$

2) Второй случай:

$$2\sqrt{r_1r_2}+2\sqrt{r_2r_3}=2\sqrt{r_1r_3}$$
$$\left(\sqrt{r_1}-\sqrt{r_2}\right)\sqrt{r_3}=\sqrt{r_1r_2}$$
$$r_3=\frac{r_1r_2}{\left(\sqrt{r_1}-\sqrt{r_2}\right)^2}.$$

Тогда

$$r_3=\frac{9\cdot 4}{(3-2)^2}=36.$$

Ответ

$$1{,}44$$ или $$36$$.