Упр.33 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.

Рассмотрим две различные прямые $$a$$ и $$c$$. Возможны только два случая:

1) $$a \parallel c$$;

2) $$a$$ и $$c$$ пересекаются в точке $$O$$.

Пусть сначала $$a \parallel c$$. Тогда прямые $$a$$ и $$c$$ лежат в одной плоскости $$\pi$$. Так как $$a \subset \alpha \cap \beta$$, а $$c \subset \beta \cap \gamma$$, то плоскость $$\pi$$ пересекает плоскость $$\beta$$ по двум параллельным прямым $$a$$ и $$c$$. Следовательно, плоскости $$\alpha$$ и $$\gamma$$ не могут пересекаться по прямой, проходящей через общую точку с $$\beta$$, и потому прямые пересечения плоскостей либо параллельны, либо совпадают по направлению. В частности, получаем $$a \parallel b \parallel c$$.

Теперь пусть $$a$$ и $$c$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда $$O \in a \subset \alpha$$ и $$O \in a \subset \beta$$, значит $$O \in \alpha$$ и $$O \in \beta$$. Аналогично, из $$O \in c \subset \beta$$ и $$O \in c \subset \gamma$$ следует, что $$O \in \gamma$$. Значит, точка $$O$$ принадлежит всем трём плоскостям:

$$O \in \alpha \cap \beta \cap \gamma.$$

Итак, либо прямые пересечения трёх плоскостей параллельны, либо все три плоскости имеют общую точку.

Ответ: либо $$a \parallel b \parallel c$$, либо $$\alpha \cap \beta \cap \gamma = O$$.